不需证明的常识性认知为公理，经过受逻辑限制的证明为真的陈述为定理。

　　欧几里得用十条公理推导出465条定理，用465条定理构造了整个经典几何世界。

　　各国中学生所学习的几何母版，其实就是欧几里得著于两千多年前的《几何原本》。

　　《几何原本》在世界范围内的出版发行数量仅次于《圣经》，我们依旧在学习两千多年前的几何教材，或许还将继续学习两千年。这就是“经典教材”的定义。

　　欧几里得先设定公理再证明定理，从而推导出整个经典几何世界的严谨思维令人惊叹。即便在今天，这种逻辑推理思维与整体构筑能力也堪称变态。

　　唯一的疑点是，“欧几里得第五公设”的常识性认知值得商榷。

　　欧几里得最早设定的10个常识性认知，其实是5个公理+5个公设。

　　近代数学将公设与公理合并，对于常识性的认知统称为公理。

　　“欧几里得第五公设”所描述的常识性认知，可等价表示为：过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与已知直线平行。

　　“第五公设不难理解，并成为社会上大多数人的常识。”沈奇在黑板上随手画了一条长达一米八的直线，非常的直，像是拿尺子比出来的。

　　“我问山姆，嘿山姆，过已知直线外一点能作几条直线与已知直线平行？”

　　“山姆告诉我，只能作一条平行线。山姆说这是他中学数学老师教他的，他认为这是常识性的问题，就如信用卡必须按时还款，否则将被起诉。”

　　“我问丽萨，她给我相同的答案。”

　　“对了，山姆是老虎旅馆的经理，人很不错。而丽萨是经济学三年级的学生，超级火辣，人很可爱，她常去老虎旅馆玩。”说到这里，沈奇在黑板上画了个点。

　　“哇喔，奇，你已经和丽萨约会了？”十二位数学系男生中的一半是宅男，并没有女朋友，他们感到羡慕。

　　“这不是重点。”沈奇心疼的看着这些宅男单身狗，承诺道：“几个月之后你们进入普林斯顿满两年，我会介绍你们加入老虎旅馆，普林斯顿最漂亮、最劲爆的姑娘们都在那里愉快玩耍。”

　　“Great-Key！”

　　“伟大奇！”

　　宅男们鸡冻了，沈奇在他们心中的形象愈发光辉伟岸，老头子教授们可不会带他们去俱乐部认识漂亮姑娘。

　　“言归正传，重点是经济学专业的丽萨也学习基础数学理论，但她并不认为过直线外一点，能作出两条以上的平行线。”沈奇敲了敲黑板上的那个小点，说到：“丽萨无法做到的事情，我们可以替她完成。欧几里得第五公设在大多数情况下是常识，但当光线通过大质量星球时，我们必须使用非欧几何，因为光线会弯曲。”

　　沈奇在黑板上徒手画了一个圆，特别的圆，圆成这样了○

　　圆内两点A、B由一条曲线连接，这条曲线在非欧几何中代表直线。

　　“从宇宙的角度审视地球，过AB外一点，我们可以作出无数条平行线。”

　　沈奇给学生们温习罗氏点和罗氏直线的知识点，加深学生们的印象。

　　穆勒教授在大课堂上讲的很快，两节大课之后已讲到了黎曼几何。

　　导修班是有必要的，这些二年级学生尚在学术成长期，他们需要一对一的单独辅导，否则有可能抓狂。

　　伟大的欧几里得留下了一条破绽，第五公设的普适性值得商榷，而这正是非欧几何的开端。

　　非欧几何分为两个主要流派，罗巴切夫斯基几何与黎曼几何。

　　罗氏几何即双曲几何，更多是从几何角度出发。黎曼几何即椭圆几何，因为流形的引入，黎曼几何与微分、拓扑、群论相交叉，研究起来的难度更大。

　　沈奇在罗氏几何中，通过作图演绎出了过直线外一点的无穷多条平行线，传统意义上的平行概念消失，弯曲空间中的平行遵守罗氏平行公理。

　　在这个特殊的空间中，三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。

　　三角形的样子也不再是刚正不阿的传统三角形，沈奇用“魔鬼喇叭花”图案，生动演绎了罗氏三角形内角和小于180度的原理。

　　卢卡是个很有天赋的学生，他举一反三的作出了一组“大魔鬼三角形”，诠释了罗氏几何中不存在任何一对不全等的相似三角形。

　　意大利人似乎对于作图、绘画、建筑有着天生的灵感和直觉，沈奇欣赏卢卡这个意大利学生，卢卡天赋佳、形象有特点，并保持了意大利男人一贯的骚气。

　　卢卡不是宅男，他有女朋友，来美国后谈过好几个，目前处了个美国对象，姑娘挺俊俏，是阿拉巴马州卡尔霍恩县安尼斯顿镇镇长的女儿。

　　在普林斯顿，学渣真的找不到女朋友。

　　只有在搞定学业的前提下，男孩纸们才有精力和时间去社交，去参加体育运动展现肌肉，从而吸引并结识漂亮姑娘。

　　杰克-马这位亚裔男孩也是沈奇欣赏的人，沈奇发现杰克-马喜欢在几何分析中加入代数处理。

　　杰克-马通过一组漂亮的二维流形解释了常曲率空间中的测地线性状问题，得到了沈奇的赞誉。

　　导修课堂上的学术气氛比较热烈，沈奇用深厚的数学知识及通俗易懂的讲解方式，赢得了全部学生的尊重与好感。

　　作为见面礼，沈奇只留下了一道作业题，他在黑板上画了一个非常漂亮的图形，像是把埃菲尔铁塔作倒影处理后与原像一同展现。

　　“三天之内，我希望能收到你们的作业，我的电子邮箱写在了黑板上，你们可以发电子版作业给我，当然也可以提交纸版，我的办公室在路德大楼2楼A02室，欢迎随时来找我。”

　　“下节导修课的开端，我将和你们一同探讨这道题目。好了，今天的导修课到此结束，这是我来普林斯顿后度过最愉快的两个小时，你们非常可爱。”

　　沈奇笑着挥挥手，离开了教室。

　　十二位学生陷入了沉思，他们盯着黑板上漂亮而古怪的图案，半小时之内没有一人离开教室。此时已是晚上十点半，对于这些二年级学生来说，晚自习才刚刚开始。

　　助教的任务是辅助教授，引导本科生完成核心课程进修。

　　和一群可爱的各国大男孩们度过愉快的两小时后，沈奇投入到他的主业中，他的主线当然是科研线。

　　“穆勒-沈定理”的证明工作按计划实施。

　　沈奇用三天时间完成了一个小细节处理，证明每个弱*闭凸集是近迫集，使得‖x*-yn*‖→dist（x*，A*）（n→∞）不失一般性。

　　今天是沈奇收作业的最后期限，十二份作业交齐了。

　　埃菲尔铁塔作倒影处理后与原像一同展现，这道黎曼几何的题目有一定难度。

　　只有三位学生运用高斯-博内定理成功证明了，埃菲尔铁塔和它的倒影是弯曲空间。

　　另外九位学生或多或少出现了错误判断和解释。

　　抄作业在普林斯顿是一件可耻的事情，后果严重到会让一位学生信誉全失。

　　沈奇相信他的男孩子们不会抄作业，他逐一批改十二份作业。

　　“约翰，B。”

　　“阿尔希拉尔，B。”

　　“卢卡，A。”

　　“斯蒂芬，A。”

　　“杰克-马，A。”

　　沈奇认真负责的批改作业，学生们的导修课作业成绩是要留档的。

　　“杰克-马，我再看看，嗯，A+。”

　　沈奇越看杰克-马的作业越开心，这小伙子可以的，他在黎曼几何中的微分处理得有我大二时的水平了吧，必须跟他添个+号。


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